Batalin-Vilkovisky formalism
首先BV formalism是Lagrangian方法，要区别于基于Hamiltonian的BFV(F是E. S. Fradkin).数学上来看基本就是homological微扰论。 从操作上来看大概分为两步，我先用物理语言简单说一下，再说数学idea.物理上来看，对于某个场论，首先记模空间为$\mathcal{M}$，包含场和场的导数的所有可能构型。
第一步：通过运动方程欧拉-拉格朗日定义出$\mathcal{M}$的子空间$\mathcal{\Sigma}$，也叫stationary space;
第二步：关于场论的动力学，我们关心在壳物理量，所以在$\mathcal{\Sigma}$上定义在壳函数，它们构成$\mathbb{C}^{\infty}(\Sigma)=\mathbb{C}^{\infty}(\mathcal{M})/\mathcal{N}$，其中$\mathcal{N}$是理想，由在$\mathcal{\Sigma}$上值为零的函数组成。这一步quotient相当于模掉了gauge redundancy, 因为运动方程满足一些诺特关系。
数学上，即BV formalism里，这两步分别由Koszul-Tate differential $\delta$ 的同调以及longitudinal operator $\gamma$ 的上同调来描述。
$\delta$ 在同调中中给出了运动方程的resolution. 具体一些：在拉氏量中，我们对每个场 $\phi^i$ 都引入反场 $\phi_i^* $，它保证运动方程在 $\delta$ 同调中trivial;
$\gamma$ 上同调在熟悉的Yang-Mills中等价于李代数上同调。
有了 $\delta$ 和 $\gamma$ ，我们就能借助homological微扰论来定义BV算子 $s=\delta+\gamma+\cdots$ ，因为是微扰论， $\delta$ 和 $\gamma$ 满足一些迭代关系，其中 $\cdots$ 是为了让 $s^2=0$ 而必须加的项（比如当规范代数open时；而对于Yang-Mills, 因为规范代数不借助运动方程就close, 所以我们不用加$\cdots$）。具体地，我们需要定义著名的反括号（antibracket），大概是把泊松括号里的加号变成减号。在反括号 $(\cdot,\cdot)$ 下，每个场和其反场互为对偶。对于给定的源 $S$ 以及任意泛函 $F(\phi^i,\phi_i^*)$，BV算子即定义为$sF=(S,F)$ . 而经典主方程为 $(S,S)=0$ ，等价于 $s^2=0$ .
在量子层面上，作用量要得到修正 $W=S+\sum_{i}\hbar^iM_i$ ，然后算子VEV的规范不变性等价于量子主方程 $\frac{1}{2}(W,W)=i\hbar\Delta W$ ，其中 $\Delta$ 是定义在场和反场空间上类似拉普拉斯的算子。当 $\Delta S=0$ 时，可以取 $W=S$ .
现在总结一下BV中数学和物理的关系：
- 规范不变的可测量通过ghost数为零的上同调群 $H^*(s)$ 来描述；
- 守恒流等价于反场数为零时的特征上同调 $H^{0,n-1}_0(\delta|d)$ ，即 $\delta$ 的上同调对 $(n-1)$ -形式模掉全微分，其中 $n$ 是时空维数；
- 全局对称的等价类就是 $H^{0,n}_1(\delta|d)$ ;
- 规范反常受控于$H^{1,n}(s|d)$，即反场数为1的 $H^*(s)$ 对所有 $n$ -形式模掉全微分。物理上， $H^{1,n}(s|d)$ 的定义受限于推广后的Wess-Zumino自洽条件；
- $H^{0,n}(s|d)$ 包含了该场论的重整化以及所有counter-term的信息；$H^{0,n}(\gamma,d)$ 和 $H^{1,n}(\gamma,d)$ 描述该理论所有可能的deformation.
应用方面，BV因为不需要做gauge-fixing所以很受欢迎，主要用途基本就是上述bullet points里的那些：用于找出量子反常与守恒流，以及用于BRST失效的情形，比如当规范代数open时（即只有模掉运动方程后才close）的量子化，例如超引力。数学上可以用来得到topological CFT的Gromov-Witten potential, 比如Costello这篇The Gromov-Witten potential associated to a TCFT。其它和镜对称的关系我就不太清楚了。
PS: 这个话题太大了，细节也海量，之后有空来补。除了两篇原文之外，推荐几个不错的references: A. Fustera, M. Henneaux and A. Maas,BRST-antifield Quantization: a Short Review
E. Witten, A Note on the Antibracket Formalism，首次给出了反场，反括号和 $\Delta$ 的几何解释，文章主体只有5页，非常推荐！A. Schwarz, Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization
楼上说的Weinberg第二卷的15.9章也不错，比较物理；另外17.1-17.3章是BV在Zinn-Justin方程以及重整化中的应用；
几乎整本经典教材：Henneaux和Teitelboim的Quantization of Gauge Systems，之前提到的 $d,\delta,s$ 都有详细介绍。
PPS: 题主如果对quantization非常感兴趣的话，推荐入坑一种升级版的几何量子化–膜量子化:) 见Gukov-Witten的Branes and Quantization和Gukov的Quantization via Mirror Symmetry
BV代数与Gerstenhaber代数一起还跟1999年Chas和Sullivan定义的string topology有密切关系，我一点也不懂。